MATEMATIKA SEBAGAI ILMU
Salah
satu cabang pokok dari filsafat adalah epistemologi yang dikenal juga dengan
sebutan teori pengetahuan. Cabang ini khusus menelaah segi-segi dari
pengetahuan seperti kemungkinan, asal mula, sifat dasar, batas-batas, pangkal
anggapan, keterpercayaan, dan kebenaran pengetahuan. Deangan demikian,
epistemologi matematika juga membahas berbagai segi itu, khususnya dari
matematika. Persoalan tentang apakah matematika itu, termasuk jenis pengetahuan
apa, bagaimana ciri-cirinya, dan betapa luasnya ditelaah oleh epitemologi
matematika.
1. Matematika
sebagai Ilmu Formal
Matematika merupakan sebuah ilmu formal. Ilmu formal
menurut definisi Sheldon Lachman dalam The Liang Gie (1993: 2) adalah sebagai
berikut:
“Cabang-cabang ilmu formal adalah
bidang-bidang dari usaha intelektual yang bertanggunjawab untuk menyusun
sistem-sistem lambang dan proses-proses perlambang, dan untuk mengembangkan
aturan-aturan dan ketentuan-ketentuan yang menyangkut hubungan-hubungan di
antara dan langkah-langkah pengerjaan dari lambang-lambang dan proses-proses
ini.”
Ilmu formal menurut Rudolf Carnap dalam The Liang
Gie (1993: 3) adalah ilmu formal hanya mengandung pernyataan-pernyataan
analitis. Sebuah pernyataan analitis ialah pernyataan yang kebenarannya
semata-mata mengikuti asas-asas logika dan karena itu akan selalu benar
dimanapun juga. Misalnya pernyataan bahwa lingkaran adalah bulat. Jadi,
pernyataan analitis hanya menyajikan arti yang memang telah terkandung dalam
sesuatu pengertian. Oleh karena bentuk yang bulat sudah dengan sendirinya
terkandung dalam pengertian lingkaran, maka pernyataan analitis akan senantiasa
benar.
2. Matematika sebagai Ilmu Tentang Bilangan
2. Matematika sebagai Ilmu Tentang Bilangan
Bilangan adalah pokok soal yang dipelajari oleh
matematika. Berhubung dengan itu dapatlah dibenarkan batasan dari Charles
Eckels yang merumuskan matematika sebagai ilmu tentang bilangan-bilangan dan
hubungan-hubungannya. Dalam salah satu kepustakaan matematika yang lebih baru
dinyatakan hal yang berikut :
“Matematika dasar terutama
menyangkut unsur-unsur tertentu yang disebut bilangan-bilangan dan dengan
langkah-langkah pengerjaan tertentu yang diterapkan pada bilangan-bilangan
itu.”
Bilangan yang dimaksud adalah suatu kumpulan yang
diukur dengan sebuah satuan (Aristoteles dalam The Liang Gie, 1993: 6). Dari
segi matematika secara tehnis bilangan adalah
“Sifat sebuah himpunan dari
astuan-satuan yang bebas dari sifat dasar satuan-satuan itu; sifat yang umum
berlaku bagi semua himpunan dari satuan-satuan yang dapat ditunmagkan dalam
hubunagn satu berbanding satu.”
Pengertian bilangan tersebut di atas sesungguhnya
adalah suatu abstraksi, yaitu permujaradan terhadap apa yang tadinya berwujud.
Bilangan merupakan konsepsi yang hanya ada dalam pikiran manusia. Timbulnya
konsepsi itu ialah karena pikiran manusia ingin menghitung suatu kumpulan yang
terdiri dari benda-benda tertentu. Mislanya seseorang mempunyai sekumpulan
jeruk, pikirannya membuat tanggapan sehingga kemudian dapat menetapkan bahwa
kumpulan itu terdiri dari 10 biji, terlepas dari ciri-ciri jeruk itu apakah
warnanya kuning atau hijau, kulitnya halus atau kasar, dan rasanya manis atau
asam. Bilamana tanggapan pikiran yang demikian itu juga terdapat
kumpulan-kumpulan benada lainnya sehingga satuan-satuan dari masing-masing
kumpulan dapat diperbandingkan satu lawan satu, maka sifat umum dari segenap kumpulan
itu adalah bilangan menurut konsepsi pikiran.
3. Matematika
sebagai Ilmu Tentang Ruang
Hollis Cooley dalam The Liang Gie (1993: 11)
menjelaskan sebagai berikut
Matematika dari masa yang lampau menyangkut terutama
deangan penelaahan terhadap dua hal, bilangan-bilanga dan ruang, yang pertama
merupakan lapangan dari aritmetika dan aljabar, dan yang belakangan termasuk
dalam bidang geometri.
Oleh karena matematika mempelajari bilangan, titik,
garis, sudut, dan segitiga dan berbagai bentuk yang menyangkut ruang, maka
kahirnya terciptalah pengertian matematika sebagai ilmu tentang bilangan dan
ruang.
Ruang adalah daerah atau lingkungan yang mempunyai
tiga dimensi, yaitu sifat panjang, lebar, dan tinggi. Suatu bidang mempunyai
dua dimensi berupa panjang dan lebar, sedang ruang mencakup tiga dimensi yaitu
panjang, lebar dan tinggi.
4. Matematika
sebagai Ilmu tentang Besaran dan Keluasan
Pengertian bilangan dan ruang mengalami abstraksi
lebih lanjut. Orang mencoba mencakup kedua hal tersebut dalam satu pengertian
yang lebih umum dan menyatakannya dengan satu istilah yaitu quantity
(kuantitas) yang diterjemahkan menjadi besaran. Besaran mencakup dua hal yaitu
besaran angka dan besaran ruang.
Besaran menurut sebuah kamus matematika adalah suatu
jumlah atau suatu bilangan ataupun suatu uangkapan yang mengandung nilai. Nilai
yang dimaksud sesuatu bilangan apapun.
Istilah lain yang digunakan untuk menampung istilah
bilangan dan ruang dalam batasan-batasan matematika adalah magnitude
(keluasan). Istilah ini sering dipersamakan dengan quantity. Sebagai contoh
Bernard Haussman dalam The Liang Gie (1993, 18) mengutip definisi yang berbunyi
matematika adalah ilmu tentang besaran dan keluasan. Keluasan yang terpisah
adalah keluasan yang menyangkut bilangan, sedang keluasan yang bersambungan merupakan
keluasan dalam ruang. Pengertian ini tampaknya tidak berbeda dengan besaran
angka dan besaran ruang dalam pembahasan matematika sebagai ilmu tentang
kuantitas.
Menurut penjelasan Keyser seperti dikutip oleh The
Liang Gie (1993: 20) keluasan mengandung arti apa saja yang ‘mampu mengalami
penambahan dan pengurangan serta pengukuran’. Sebagai variasi terakhir
timbullah pendapat yang merumuskan matematika sebagai ilu tentang keluasan atau
pengukuran dan letak.
5. Matematika
sebagai Ilmu tentang Hubungan, Pola, Bentuk, dan Rakitan
Ahli matematika Jerman yang terbesar dalam abad
ke-19 Carl Friedrich Gauss dalam The Liang Gie (1993:25) berpendapat bahwa
matematika semata-mata menyangkut perincian dan perbandingan dari
hubungan-hubungan. Pengertian hubungan dalam matematika menurut John Hafstrom
dalam The Liang Gie (1993:26) bertalian erat dengan pemakaian sehari-hari.
Sebuah hubungan mencakup dua hal atau lebih yang memilki sifat tertentu yang
umum tentang mereka, atau yang sama-sama tercakup dalam suatu himpunan
tertentu. Contoh-contoh hubungan dalam matematika mislanya ialah kesamaan (dua
buah bilangan dapat dianggap berhubungan karena besarnya yang sama)
perimbangan, lebih besar, lebih kecil atau kesejajaran.
Setiap benda di dunia ini mempunyai
hubungan-hubungan yang disebuat ataupun tidak dimanai dengan setiap benda
lainnya. Jumlah dan macam-macam hubungan itu tidak terbatas. Henry Poincare
sampai-smapai menyatakan bahwa ilmu sesungguhnya tidak dapat mengetahui
benda-benda, melainkan hnyalah hubungan-hubungan. Mengerti adalah mengerti
hubungan-hubungan; memiliki pengetahuan berarti memiliki pengertian tentang
hubungan-hubungan dan hubungan-hubungan itu pula menjadi pusat perhatian dari
matematika.
Dari hubungan kemudian beberapa hali matematika
berbicara tentang pola. Seorang matematikawan merumuskan matematika sebagi
pengetahuan tentang pola adalah W.W Sawyer.
“Matematika adalah penggolongan dan
penelaahan tentang semua pola yang mungkin. Pola disini dipakai dalam suatu
cara yang tidak setiap orang dapat menyetujuinya. Ini dipahami dalam suatu
makna yang amat luas, mencakup hampir setiap
macam keteraturan yang dapat dikenali oleh pikiran.”
Setelah
dipelajari oleh matematika fenomena di atas yang kelihatannya berlainan
ternyata mengandung pola atau keteratuan yang sepenuhnya sama.
Dari batasan matematika sebagai ilmu tentang pola-pola orang melangkah lebih
lanjut sampai kepada ilmu tentang bentuk. Pengertian bentuk disini bukanlah
gambar-gambar bidang dna bentuk-bentuk ruang sebagaimana lazim dalam geometri.
Arti yang lebih baru dari bentuk dalam matematika menunjukkan pada rakitan dari
hubungan- hubungan dan teori-teori matematika. Ini berkembang, tidak dari suatu
penelaahan tentang bentuk ruang sebagai demikian, melainkan dari analisis
mengenai pembuktian-pembuktian yang terjadi dalam geometri, aljabar, dan
pembagian-pembagian lainnya dari matematika.
Penelaahan matematika sebagai rakitan adalah ciri
lain dari matematika modern yang membedakannya dengan pebgertian matematika
sebagai bilangan dan ruang.
“Rakitan modern sebuah istilah
bersifat agak mencakup semuanya yang diterapkan bagi hubungan-hubungan logis
yang terdapat di antara berbagai kegiatan yang dilakukan dalam suatu orgnisasi.
Maksud dari rakitan adalah memberikan suatu susunan yang tertib di antara
fungsi-fungsi sehingga tujuan-tujuan organissasi dapat tercapai secara efisien.
Struktur mengandung arti dan pola.”
6. Matematika
sebagai ilmu yang bersifat abstrak dan deduktif
Matematika yang bersifat abstrak menurut Salomon
Bochner dalam The Liang Gie (1993:39), matematika tidak berhubungan dengan
perwujudan-perwujudan dan benda-benda dari dunia luar, melainkan hanya dengan
hal-hal dan hubungan-hubungan yang merupakan gambaran-gambaran yang
diciptaknnya sendiri. Dengan ini lahirlah pendapat yang menganggap matematika
sebagai penelaahan tentang sistem-sistem abstrak, yakni sebagai penelaahan
tentang ‘permainan-permianan’ yang dimainkan dengan sasaran-sasaran abstrak
yang perilakunya dicirikan dengan kumpulan-kumpulan aturan yang ditentukan.
Pendapat itu sesuai dengan pendapat filsuf Charles
Sanders Peirce dalam The Liang Gie (1993:39) yang menyatakan bahwa matematika
tidak berhubungan dengan keadaan senyatanya dari benda-benda, melainkan
semata-mata dengan keadaan pengandaian dari benda-benda. Batasannya tentang
matematika sebagai berikut:
“Matematika adalah penelaahan
tentang apa yang benar mengenai keadaan pengandaian dari benda-benda. Itulah
saripati dan batasannya.”
Matematika
selain bersifat abstrak juga bersifat deduktif. Sebagai ilmu deduktif, hal yang
lebih utama bagi matematika bukanlah sasaran-sasarannya, melainkan metode
logika atau metode pembuatan kesimpulan yang dipakai. Oleh karena itu, dalam
abad ke-20 ini terdapat pendirian yang memandang matematika sebagai suatu
metode pemikiran. Dalam pernyataan Morris Kline :
“Terutama matematika adalah suatu
metode penyelidikan yang dikenal sebagai pemikiran berdasarkan postulat. Metode
itu terdiri dari merumuskan secara seksama definisi-definisi tentang
pengertian-pengertian yang akan dibahas dan menyebutkan secara tegas
patokanpikir-patokanpikir yang akan merupakan dasar bagi penalaran. Dari
definisi-definisi dan patoaknpikir-patoakanpikir ini diturunkanlah logika
paling ketat yang mungkin dipakai orang.”
Demikianlah,
matematika sejak zaman kuno sampai masa modern ini telah berkembang dari ilmu
yang menelaah bilangan dan ruang menjadi ilmu yang bersifat abstrak dan
deduktif.
Pada abad ke-20
ada tiga aliran modern tentang matematika yang mewarnai perkembangan matematika
yaitu Logisisme, Intuitionisme, dan Formalisme. Logisisme yaitu logika yang
diperkembangkan lebih lanjut. Intuitionisme yaitu proses pemikiran yang
bersumber pada ilham dasar manusia. Formalisme yaitu ilmu tentang struktur
formal dari lambang-lambang.
Sumber:
The
Liang Gie. 1999. Filsafat Matematika
Bagian Kedua Epistemologi Matematika. Yayasan Studi Ilmu dan Teknologi. Yogyakarta
